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Facultad de Ciencia y tecnología
Introducción
La solución de ecuaciones diferenciales parciales (PDE) en ingeniería y ciencias es una constante. Sin embar- go, no es una tarea trivial pues depende del sistema de coordenadas base, de las condiciones iniciales y de frontera presente y de la naturaleza misma de la PDE. Esta última característica permite discriminar las PDE en ecuaciones lineales y no lineales. Los métodos de solución de PDE existentes son analíticos (y numéricos) para las ecuaciones lineales y sólo numéricos para las no lineales. Existen diversos métodos numéricos para su solución, desde diferencias finitas, colocación ortogonal y elemento finito (Villadsen y Michelsen, 1978).
Con los avances de la computación y el uso de librerías, un método ha sido mencionado constantemente en la literatura científica y se conoce como el método de las líneas. De hecho, es un planteamiento híbrido con respecto a las diferencias finitas, pues toma el mismo fundamento de la definición de derivada. Sea, pues, la siguiente ecuación de segundo grado típica en cualquier rama de la ingeniería:
(1)
La primera y segunda derivada se aproxima a partir de las siguientes expresiones provenientes de la serie de Taylor:
(2)
(3)
El detalle de las anteriores definiciones es descrito en el texto de Nieves y Domínguez (1995). Obsérvese que al sustituir las expresiones (2) y (3) en (1), además de que t es un intervalo de tiempo y h es una longitud característica, ambas se fijan de acuerdo a la complejidad del problema:
(4)
Así, las incógnitas son las ui en el tiempo t+1 (uit1). Los superíndices establecidos de esta forma se asocian al tiempo, mientras que los subíndices al espacio y se conocen como nodos en la literatura (ver figura 1) La forma de obtener el número de ecuaciones que se desee es con base en el número de nodos n. Lo anteriormente descrito es el método de diferencias finitas del tipo explicito (Osizik, 1968).
Figura 1. Nodos y su relación en el método de las líneas
tiempo
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InvEstIgaCIón UnIvErsItarIa MUltIDIsCIplInarIa - año 5, no5, DICIEMbrE 2006
Posición
Para plantear la ecuación i, es necesario el nodo anterior (i-1) y el nodo posterior (i+1). En caso de no existir se ligan las condiciones de frontera